高二数学空间向量的定义及公式

时间:2024-02-20 10:53:30
高二数学空间向量的定义及公式

高二数学空间向量的定义及公式

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基本定理

  1共线向量定理

  两个空间向量a,b向量(b向量不等于0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ,使a=λb

  2共面向量定理

  如果两个向量a,b不共线,则向量c与向量a,b共面的充要条件是:存在唯一的'一对实数x,y,使c=ax+by

  3空间向量分解定理

  如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc。

  任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底,零向量的表示唯一。

常识

  以下用向量法求解的简单常识:

  1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y,使得PM=xPA+yPB

  2、对空间任一点O和不共线的三点A,B,C,若:OP=xOA+yOB+zOC (其中x+y+z=1),则四点P、A、B、C共面.

  3、利用向量证a∥b,就是分别在a,b上取向量a=λb(λ∈R).

  4、利用向量证a⊥b,就是分别在a,b上取向量a·b=0 .

  5、利用向量求两直线a与b的夹角,就是分别在a,b上取 a,b,求: 的问题.

  6、利用向量求距离即求向量的模问题.

  7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离,关键是建立正确的空间直角坐标系,正确表达已知点的坐标.

计算

  第一步:

  按照图形建立三维坐标系O-xyz

  之后,将点的坐标带进去,求出所需向量的坐标。

  第二步:

  求平面的法向量:

  令法向量n=(x,y,z)

  因为法向量垂直于此平面

  所以n垂直于此面内两相交直线(其方向向量为a,b)

  可列出两个方程 n·a=0,n·b=0

  两个方程,三个未知数

  然后根据计算方便

  取z(或x或y)等于一个数(如:1,√2等)

  代入即可求出面的一个法向量n的坐标了.

  会求法向量后

  1.斜线与平面所成的角就是求出斜线的方向向量与平面的法向量n的夹角,所求角为上述夹角的余角或者夹角减去π/2.

  2.点到平面的距离就是求出该面的法向量n在平面上任取(除被求点在该平面的射影外)一点,

  求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量,记为a

  点到平面的距离就是法向量n与a的数量积的绝对值|n·a|除以法向量的模|n|即得所求.

  3.二面角的求法就是求出两个平面的法向量

  可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积 :cos=|n·m|/(|n||m|)

  那么二面角就是上面求的两法向量的夹角或者它的补角。

  4.设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为μ,ν 则

  线线平行 l∥m<=>a∥b <=> a=kb

  线面平行 l∥α<=>a⊥μ <=>a·μ=0

  面面平行 α∥β<=>μ∥ν <=>μ=kν

  线线垂直 l⊥m<=>a⊥b <=>a·b=0

  线面垂直 l⊥α <=>a∥μ <=> a=kμ

  面面垂直 α⊥β<=> μ⊥ν <=>μ·ν=0

  5.向量的坐标运算:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则

  1.|a|=√(x1²+y1²)

  2.a+b=(x1+x2,y1+y2)

  3.a-b=(x1-x2,y1-y2)

  4.ka=k(x1,y1)=(kx1,ky1)

  5.a·b=x1x2+y1y2

  6.a∥b<=> x1y2=x2y1(一般写为:x1y2-x2y1=0)

  7.a⊥b<=> a·b=0<=>x1x2+y1y2=0

  8.cos=(a·b)/(|a|·|b|)=(x1x2+y1y2) / [ √(x1²+y1²)·√(x2²+y2²) ]

  注:x1中的1为下标,以此类推

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